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數學定義

亞里士多德把數學定義為“數量數學"，這個定義直到18世紀。從19世紀開始，數學研究越來越嚴格，開始涉及與數量和量度無明確關系的群論和投影幾何等抽象主題，數學家和哲學家開始提出各種新的定義。這些定義中的一些強調了大量數學的演繹性質，一些強調了它的抽象性，一些強調數學中的某些話題。即使在專業人士中，對數學的定義也沒有達成共識。數學是否是藝術或科學，甚至沒有一致意見。許多專業數學家對數學的定義不感興趣，或者認為它是不可定義的。有些只是說，“數學是數學家做的。”

數學定義的三個主要類型被稱為邏輯學家，直覺主義者和形式主義者，每個都反映了不同的哲學思想學派。都有嚴重的問題，沒有人普遍接受，沒有和解似乎是可行的。

數學邏輯的早期定義是本杰明·皮爾士（Benjamin Peirce）的“得出必要結論的科學”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被稱為邏輯主義的哲學程序，并試圖證明所有的數學概念，陳述和原則都可以用符號邏輯來定義和證明。數學的邏輯學定義是羅素的“所有數學是符號邏輯”（1903）。

直覺主義定義，從數學家L.E.J. Brouwer，識別具有某些精神現象的數學。直覺主義定義的一個例子是“數學是一個接著一個進行構造的心理活動”。直觀主義的特點是它拒絕根據其他定義認為有效的一些數學思想。特別是，雖然其他數學哲學允許可以被證明存在的對象，即使它們不能被構造，但直覺主義只允許可以實際構建的數學對象。

正式主義定義用其符號和操作規則來確定數學。 Haskell Curry將數學簡單地定義為“正式系統的科學”。正式系統是一組符號，或令牌，還有一些規則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統中，公理一詞具有特殊意義，與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統中，公理是包含在給定的正式系統中的令牌的組合，而不需要使用系統的規則導出。